Quanta-Magazin

26. April 2023

Kristina Armitage/Quanta Magazine

Mitwirkender Autor

26. April 2023

Der erste Beweis, den viele Menschen schon früh in der High School lernen, ist der Beweis des antiken griechischen Mathematikers Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Es dauert nur wenige Zeilen und verwendet keine komplizierteren Konzepte als ganze Zahlen und Multiplikation.

Sein Beweis stützt sich auf die Tatsache, dass, wenn es eine endliche Anzahl von Primzahlen gäbe, die Multiplikation aller Primzahlen und die Addition von 1 die Existenz einer weiteren Primzahl implizieren würde. Dieser Widerspruch impliziert, dass die Primzahlen unendlich sein müssen.

Mathematiker haben einen seltsam beliebten Zeitvertreib: es immer wieder zu beweisen.

Warum sollte man sich die Mühe machen, das zu tun? Zum einen macht es Spaß. Noch wichtiger ist: „Ich denke, die Grenze zwischen Freizeitmathematik und ernsthafter Mathematik ist sehr schmal“, sagte William Gasarch, Professor für Informatik an der University of Maryland und Autor eines neuen Beweises, der Anfang des Jahres online veröffentlicht wurde.

Gasarchs Beweis ist nur der jüngste in einer langen Reihe neuartiger Beweise. Im Jahr 2018 stellte Romeo Meštrović von der Universität Montenegro in einer umfassenden historischen Untersuchung fast 200 Beweise für den Satz von Euklid zusammen. Tatsächlich entstand das gesamte Gebiet der analytischen Zahlentheorie, die sich kontinuierlich ändernde Größen zur Untersuchung der ganzen Zahlen verwendet, wohl im Jahr 1737, als der mathematische Riese Leonhard Euler die Tatsache nutzte, dass die unendliche Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ 4 + 1/5 + … divergiert (was bedeutet, dass die Summe keine endliche Zahl ergibt), um erneut zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Christian Elsholtz, Mathematiker an der Technischen Universität Graz in Österreich und Autor eines weiteren aktuellen Beweises, sagte, dass er, anstatt harte Ergebnisse aus vielen kleineren Ergebnissen zu beweisen – was Mathematiker tun, wenn sie Lemmata systematisch zu Theoremen zusammenfassen –, das Gegenteil getan habe. „Ich verwende Fermats letzten Satz, der wirklich ein nichttriviales Ergebnis ist. Und dann komme ich zu einem sehr einfachen Ergebnis.“ Eine solche Rückwärtsarbeit könne verborgene Zusammenhänge zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik aufdecken, sagte er.

„Es gibt einen kleinen Wettbewerb um die Leute, die den lächerlich schwierigsten Beweis haben wollen“, sagte Andrew Granville, Mathematiker an der Universität Montreal und Autor von zwei weiteren Beweisen. „Es muss amüsant sein. Es geht nicht darum, etwas technisch Schreckliches zu tun. Die einzige Möglichkeit, etwas Schwieriges zu machen, ist, dass es amüsant ist.“

Granville sagte, dass diese freundschaftliche Übertrumpfung einen ernsten Grund habe. Den Forschern werden nicht nur Fragen vorgelegt, die sie zu lösen versuchen. „Beim Schöpfungsprozess in der Mathematik geht es nicht darum, dass man einer Maschine einfach eine Aufgabe stellt und die Maschine sie löst. Es geht darum, dass jemand das, was er in der Vergangenheit getan hat, nutzt, um eine Technik zu entwickeln und einen Weg zu finden, Ideen zu entwickeln.“ ."

Wie Gasarch es ausdrückt: „Alle Arbeiten gehen von einem hübschen neuen Beweis, dass Primzahlen unendlich sind, in ernsthafte Mathematik über. An einem Tag betrachtet man nur Primzahlen und am nächsten Tag betrachtet man die Dichte von Quadraten.“

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William Gasarch, Professor an der University of Maryland, ist der jüngste in einer langen Reihe von Mathematikern, der einen neuen Beweis dafür erbracht hat, dass die Primzahlen unendlich sind.

Evan Golub

Gasarchs Beweis beginnt mit der Tatsache, dass es, wenn man die ganzen Zahlen mit einer endlichen Anzahl von Farben färbt, immer ein Zahlenpaar mit derselben Farbe gibt, deren Summe auch diese Farbe ist, was 1916 von Issai Schur bewiesen wurde. Gasarch verwendete den Satz von Schur, um zu zeigen, dass es bei einer endlichen Anzahl von Primzahlen einen perfekten Würfel (eine ganze Zahl wie 125, die gleich einer anderen ganzen Zahl ist, die dreimal mit sich selbst multipliziert wird) gibt, die die Summe von zwei ist andere perfekte Würfel. Aber bereits 1770 hatte Euler bewiesen, dass es keinen solchen Würfel gibt – der n = 3-Fall von Fermats letztem Satz, der besagt, dass es keine ganzzahligen Lösungen für an + bn = cn für n größer als 2 gibt. Basierend auf diesem Widerspruch argumentierte Gasarch dass es unendlich viele Primzahlen geben muss.

Einer von Granvilles Beweisen aus dem Jahr 2017 verwendete einen anderen Satz von Fermat. Granville stützte sich hauptsächlich auf einen Satz von Bartel Leendert van der Waerden aus dem Jahr 1927, der zeigte, dass es immer beliebig lange Ketten gleichmäßig verteilter Ganzzahlen mit derselben Farbe gibt, wenn man die ganzen Zahlen mit einer endlichen Anzahl von Farben färbt. Wie Gasarch ging Granville von der Annahme aus, dass Primzahlen endlich sind. Anschließend verwendete er den Satz von van der Waerden, um eine Folge von vier gleichmäßig beabstandeten, identisch gefärbten perfekten Quadraten zu finden. Doch Fermat hatte bewiesen, dass eine solche Folge nicht existieren kann. Widerspruch! Da eine solche Folge existieren könnte, wenn es eine endliche Anzahl von Primzahlen gäbe, sie aber nicht existieren kann, muss es eine unendliche Anzahl von Primzahlen geben. Granvilles Beweis war der zweite aktuelle Hauptbeweis, der sich auf den Satz von van der Waerden stützte – Levent Alpöge, jetzt Postdoktorand an der Harvard University, hatte das Ergebnis auch in einer Arbeit aus dem Jahr 2015 verwendet, die noch während seines Studiums veröffentlicht wurde.

Granville ist ein besonderer Fan von Elsholtz‘ Artikel, der auch Fermats letzten Satz und die kontrafaktische Annahme anwendet, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt. Wie Gasarch hat Elsholtz den Satz von Schur übernommen, wenn auch auf etwas andere Weise. Elsholtz lieferte auch einen zweiten Beweis anhand eines Satzes von Klaus Roth aus dem Jahr 1953, der besagt, dass Mengen von ganzen Zahlen über einer bestimmten Größe Gruppen von drei gleichmäßig verteilten Zahlen enthalten müssen.

Einige tiefergehende – und sogar praktische – mathematische Fragen könnten beantwortet werden, wenn man auf dieser Arbeit aufbaut. Beispielsweise wäre die Verschlüsselung mit öffentlichen Schlüsseln, die auf der Schwierigkeit beruht, große Zahlen zu faktorisieren, sehr leicht zu knacken, wenn wir in einer Welt mit endlich vielen Primzahlen leben würden. Elsholtz fragt sich, ob es daher möglicherweise einen Zusammenhang zwischen den Beweisen unendlich vieler Primzahlen und dem Nachweis gibt, wie schwierig es ist, solche Verschlüsselungsschemata zu knacken. Es gebe „eine schwache Verbindung zum Satz von Euklid“, sagte Elsholtz. „Es wäre interessant, die tieferen Zusammenhänge zu sehen.“

Granville sagte, die beste Mathematik könne aus seltsamen Kombinationen verschiedener Bereiche und Fächer entstehen und entstehe oft, nachdem Mathematiker jahrelang über weniger anspruchsvolle, aber amüsante Probleme gebrütet hätten. Er ist fasziniert von der Tatsache, dass scheinbar weit entfernte Themen auf die Zahlentheorie angewendet werden können. In einer kürzlich durchgeführten Umfrage lobte Granville die „spärliche Eleganz“ eines Beweises von Hillel Fürstenberg aus dem Jahr 1955, der die Punktmengentopologie verwendete. Wie Alpöge war Fürstenberg noch am College, als sein Beweis veröffentlicht wurde. Er machte eine glänzende Karriere in verschiedenen mathematischen Disziplinen.

Granville fragte rhetorisch, ob neue Beweise für Euklids altes Ergebnis „nur Neugier oder etwas von langfristiger Bedeutung“ seien. Auf seine eigene Frage antwortete er: „Das kann ich Ihnen nicht sagen.“

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26. April 2023

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